\( y = \sin x \) \( \left( -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \right) \) の逆関数の導関数を求めよ．
＊逆関数の導関数＊
求め方は次の \( 2 \) つ．
\( 1^\circ \) \( x = f(y) \) を \( y \) について解き， \( x \) の関数 \( y \) を \( x \) で微分する．
\( 2^\circ \) \( \dfrac{dx}{dy} \neq 0 \) のとき， \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } \) となることを利用する．
\( x = \sin y \) \( \left( -\dfrac{\pi}{2} < y < \dfrac{\pi}{2} \right) \) の両辺を \( y \) で微分して
\( \dfrac{dx}{dy} = \cos y \)
これより
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } \)
\( = \dfrac{1}{\cos y} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{1 – \sin^2 y}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdots \) 答
\( 1^\circ \)
三角関数の逆関数のように， \( f^{-1}(x) \) を \( x \) の簡単な式で表せない場合は，本問のように，冒頭に述べた方法のうち \( 2 \) つ目を採用する．
\( 2^\circ \)
\( \sin x \) \( \left( -\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \right) \) の逆関数は \( \arcsin x \) と表される．本問の結果から
\( (\arcsin x)’ = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
となる．同様に， \( \cos x \) \( ( 0 \leqq x \leqq \pi ) \) の逆関数は \( \arccos x \) ， \( \tan x \) \( \left( -\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2} \right) \) の逆関数は \( \arctan x \) と表され，導関数はそれぞれ
\( (\arccos x)’ = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( (\arctan x)’ = \dfrac{1}{x^2 + 1} \)
となる．
